persamaan garis lurus

BAB I

A. Standart Kompetensi

            Memahami Bentuk Aljabar, Relasi, Fungsi, dan Persamaan Garis Lurus.

B. Kompetensi Dasar

Menentukan Gradien, Persamaan dan Grafik Garis Lurus.

C. Indikator

-     Siswa dapat menemukan persamaan garis lurus dari suatu Grafik fungsi linear

BAB II

I.         MATERI

A.  Pengertian persamaan garis lurus

                  Persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang jika digambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus.

B.  Persamaan garis lurus

            Bentuk y = mx merupakan bentuk persamaan garis lurus sederhana. Dikatakan sebagai bentuk sederhana karena garis yang dibentuk oleh persamaan garis tersebut selalu melalui titik pusat koordinat yaitu (0,0).

            Adapun bentuk umum dari persamaan garis lurus dapat dituliskan sebagai berikut:

                             y = mx + c

            Persamaan garis ini hampir sama dengan bentuk sederhananya, namun diberi tambahan konstanta (diberi lambang c). Hal ini menunjukkan bahwa garis yang dibentuk oleh persamaan garis tersebut tidak akan melalui titik O (0,0).Setelah kamu memahami bentuk sederhana dan bentuk umum persamaan garis.

C.  Gradien

                  Gradien suatu garis lurus adalah : Perbandingan antara komponen y (ordinat) dan komponen x (absis) antara dua titik pada garis itu. Gradien suatu garis biasanya dinotasikan dengan huruf kecil m.

                  Catatan : gradien sebuah garis sering disebut kecondongan atau kemiringan sebuah garis atau koefisien arah sebuah garis

D.                Menentukan titik potong dari dua garis lurus

Titik potong dari dua garis lurus dapat dilakukan dengan 2 cara:

1. Substitusi

Dengan memasukkan salah satu varibel dari persamaan yang satu ke persamaan yang lain.

2. Eliminasi

Dengan mengeliminasi (menghilangkan) salah satu variabel dengan cara menyamakan variabel yang akan dieliminasi.

II.      MATERI KHUSUS

A.  Gradien

1.      Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx

            Gradien dengan persamaan garis y = mx adalah m. Jadi konstanta didepan x adalah gradien. Contoh:

Tentukan gradien dari persamaan berikut ini:

a.     y = 2x , jadi gradiennya adalah 2.

b.   y = 5x , jadi gradiennya adalah 5.

2.      Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx +c

            Perhitungan gradien pada persamaan garis y = mx, perhitungan gradien pada garis y = mx + c dilakukan dengan cara menentukan nilai konstanta di depan variabel x. Contoh:

Tentukan gradien dari persamaan berikut ini:

a.    y = 4x + 6, jadi gradiennya adalah 4

b.   y = –5x – 8, jadi gradiennya adalah -5

3.      Menghitung Gradien pada Persamaan Garis ax  + by  +c = 0

            Sama seperti sebelumnya, gradien pada persamaan garis ax + by + c = 0 dapat ditentukan dengan cara mengubah terlebih dahulu persamaan garis tersebut ke dalam bentuk y = mx + c. Kemudian nilai gradien diperoleh dari nilai konstanta mdi depan variabel x. Contoh:

Tentukan gradien dari persamaan ini: x + 2y + 6 = 0

Persamaan garis x + 2y + 6 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c sehingga x + 2y + 6 = 0

2 y = – x–6 

y = – x/2 –  6/2  

y = -1/2 x – 3

Jadi, nilai m = – ½

4. Menghitung Gradien pada Garis yang Melalui Dua Titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂)

Karena gradian merupakan kemiringan maka gradien garis yang melalui (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) rumus umum untuk mencari gradien pada garis yang melalui dua titik, sebagai berikut:

5. Gradien Garis yang Sejajar dengan Sumbu-x 

               Terlihat pada gambar diatas, garis k yang melalui titik A(–1, 2) dan B(3, 2). Garis tersebut sejajar dengan sumbu-x. Untuk menghitung gradien garis k, gunakan cara sebagai berikut.

Untuk titik A(–1, 2) maka x₁ = –1, y₁ = 2.
Untuk titik B(3, 2) maka x₂ = 3, y₂ = 2.

            Jadi garis k sejajar dengan sumbu-x maka nilai gradiennya adalah nol.

6. Gradien garis yang sejajar dengan sumbu-y

Garis l yang melalui titik C(1, 3) dan D(1, –1). letaknya sejajar dengan sumbu-y. Gradien garis tersebut adalah sebagai berikut.

Untuk titik C(1, 3) maka x₁ = 1, y₁ = 3.
Untuk titik D(1, –1) maka x₂ = 1, y₂ = –1.

Jadi, jika garis sejajar dengan sumbu-y maka garis tersebut tidak memiliki gradien.

7. Gradien Dua Garis yang Sejajar.

 

Garis k dan l merupakan dua garis yang sejajar. Setiap garis yang sejajar memiliki gradien yang sama yaitu:

m_k = m_l

8. Gradien Dua Garis yang Tegak Lurus.

Dua garis yang saling tegak lurus perkalian gradiennya adalah -1. Garis l dan garis k saling tegak lurus, maka m_l x m_k = -1

B.     Menentukan Persamaan Garis Lurus

Berikut ini akan diuraikan bagaimana menentukan sebuah persamaan garis dari titik koordinat atau gradien.

1.      Persamaan garis yang melalui sebuah titik (x₁, y₁) dengan gradien m.

Gambar tersebut menunjukkan sebuah garis k pada bidang koordinat Cartesius. Garis tersebut melalui titik A(x₁, y₁) dan tidak melalui titik pusat koordinat sehingga persamaan garis pada Gambar 3.11 dapat dituliskan:

y₁ = mx₁ + c ….(1)

Adapun bentuk umum persamaan garis yang tidak melalui titik pusat koordinat dituliskan:

y = mx + c ….(2)

Jika ditentukan selisih dari persamaan (2) dan persamaan (1) maka diperoleh:

Selanjutnya diperoleh rumus umum untuk menentukan persamaan garis jika diketahui gradien dan titik koordinat, yaitu:

2.    Menentukan Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik

Pada bagian sebelumnya, kamu telah mempelajari cara menentukan persamaan garis yang melalui satu titik koordinat dan gradiennya diketahui. Sekarang, kamu akan mempelajari bagaimana menentukan persamaan garis yang melalui dua titik. Caranya hampir sama dengan rumus umum yang telah dipelajari sebelumnya.

Coba kamu perhatikan uraian berikut :

y – y1 = m (x – x1)

adalah rumus umum persamaan garis dari gradien dan titik koordinat.

Jadi, rumus untuk menentukan persamaan garis yang melalui dua titik koordinat adalah

III.   LATIHAN SOAL

1.    Persamaan garis lurus yang melalui titik pangkal dan titik A(2 , 3) adalah ...

   a.  y = ³/₂ x

   b.  y = ²/₃ x

   c.  y = ^-2/₃ x

   d.  y = ^-3/₂ x

Penyelesaian:

Titik A(2,3) dan pusat koordinat O(0,0)

Persamaan garisnya :

y = mx     dengan   m =  ^y/_x  = ³/₂

y =  ³/₂ x   

Jadi persamaannya  y =  ³/₂ x .

 Jawaban : A

2.    Gradien garis yang sejajar dengan garis 2x + 6y + 8 = 0 adalah...

a.  1/3

b. ¼

c.  -1/3

d. -1/4

Penyelesaian:

2x + 6y + 8 = 0

6y = - 2x – 8

y = - 2/6x – 8/6

m = -2/6

Jadi m = - 1/3

Jawaban: C

3.        Gradian yang melalui titik (2,1) dan (4,7) adalah...

a.    1/5

b.    ½

c.    2

d.   3

Penyelesaian:

m = 3

Jawaban: D

4.    Garis p tegak lurus terhadap garis h yang mempunyai persamaan 3x + 6y + 5 = 0. Gradien garis p adalah...

a.       -2

b.      -1/2

c.       ½

d.      2

5. 

Penyelesaian:

Mencari gradien garis h yaitu m_h

3x + 6y + 5 = 0

6y = -3x – 5

y = -3/6x – 5/6

Jadi m_h = - 3/6

Karena garis p dan garis h tegak lurus maka

m_p x m_h = -1

m_p = -1/m_h

m_p = -1/ (-3/6)

m_p = -1 x – 6/3

m_p = 2

Jawaban: D

5.                                          Pernyataan dibawah ini yang benar adalah ...

    a.  3x – 6y + 10 = 0  bergradien ¹/₂

    b.  6x – 3y – 10 = 0 bergradien 2

    c.  x + 4y + 5 = 0   bergradien ¹/₄

    d.  x – 4y + 5 = 0  bergradien 4

Penyelesaian:

a.  3x – 6y + 10 = 0  bergradien ^-1/₂

     3x – 6y + 10 = 0 à m = ^-3/_-6  = ½ ( S)

b.  6x – 3y – 10 = 0     bergradien 2

     6x – 3y – 10 = 0 à m = ^-6/_-3 = 2   ( B )

  c.  x + 4y + 5 = 0       bergradien ¹/₄

         x + 4y + 5 = 0    à m = ^-1/₄          ( S)

  d.  x – 4y + 5 = 0       bergradien 4

     x – 4y + 5 = 0    à m = ^-1/_-4 =¹/₄   ( S)

Jawaban: B

6.    Grafik persamaan 3x – 2y = 12 dan 5x +y = 7 , berpotongan di titik (p , q).  Nilai 4p +3q = ...

a.       17

b.      1

c.       -1

d.      -17

Penyelesaian:

PGL: 3x – 2y = 12 dan 5x +y = 7, maka  y =  -5x + 7 , subsitusikan ke persamaan.

3x – 2y  = 12        

à  3x  - 2( -5x + 7)= 12

3x + 10x – 14 = 12  

13x  =  12 + 14

13x = 26                 

x  =  2.

ày = -5x  + 7             

y = -5(2) + 7

y = -10 + 7  = - 3    

p = x = 2 dan q = y = -3

jad

Nilai dari :   4p +3q = 4(2) + 3(-3)

                                     = 8 – 9  = -1

Jawaban : C

7.    Persamaan garis yang melalui titik (2 , 3) dan sejajar dengan garis yang persamaannya 3x + 5y = 15 adalah ...

    a.  3x + 5y = -9

    b.  5x + 3y = 19

    c.  3x + 5y = 21

    d.  5x – 3y = 1

Penyelesaian:

Persamaan: 3x + 5y = 15 à m₁ = ^-3/₅

Karena:  m₁ // m₂ maka m₂ = ^-3/₅ 

y – y₁ = m ( x – x₁ )  à melalui ( 2,3)

y – 3  = ^-3/₅ ( x – 2)  à kalikan dengan 5

    5( y – 3)  = -3 ( x – 2) 

    5y  - 15 = -3x  + 6

    3x  + 5y = 6 + 15 

3x + 5y =  21

   Jadi persamaannya :

   3x  +  5y  = 21

Jawaban: C

8.    Persamaan garis lurus yang melalui titik P(4 , -2) dan tegak lurus garis yang persamaannya  3y = 7 – 6x adalah ...

    a.  2y = x – 4

    b.  2y + x = -2

    c.  2y - x + 8 = 0

    d.  x + 2y + 4 = 0

Penyelesaian:

Persamaan :3y = 7 – 6x à  m₁ = - 2 

Karena:  m₁ ^ m₂ maka m₂ = ¹/₂ 

    y – y₁ = m ( x – x₁ )  à melalui ( 4, -2 )

    y – (-2)     =  ¹/₂ ( x – 4) 

     2(y + 2)   =  x - 4 

     2y  + 4  - x + 4 = 0 

     2y - x  + 8 = 0

   Jadi persamaannya :

   2y - x + 8 = 0.

Jawaban: C

9.  Persamaan garis yang melalui titik L(5, 1) dan tegak lurus dengan garis  adalah ….

a.   

b.   

c.   

d.  

Penyelesaian :

Misal  adalah gradien garis

Di peroleh

Misal  adalah persamaan garis yang melalui titik L(5,1) dan tegak lurus garis

Maka

 

Jadi persamaan garis ,

Jawaban : B

10.     Persamaan garis yang melalui titik M(1,-3) dan sejajar dengan garis yang melalui titik A(4,1) dan B(-1,2) adalah …..

a.   

b.   

c.   

d.  

Penyelesaian :

Menentukan gradian yang melalui titik A (4,1) dan B(-1,2)

Untuk A (4,1) maka

Untuk B (-1,2) maka

Misal  adalah persamaan garis yang melalui titik M(1,-3) dan sejajar garis yang melalui titik A(4,1) dan B(-1,2)

Karena garis sejajar dengan garis yang melalui titik A dan B maka

Maka persamaan garis  yang melalui titik M(1,-3) Maka

  (dikalikan (-5))

Jawaban: C